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Assignment - 算法时间复杂度练习

• 用穷举法找出所有三边长度都为整数的直角三角形（毕达哥拉斯三角形），且三条边的长度都小于n。
• 分析时间与空间复杂度。
• 统计n等于100到1000（间隔100）的运行时间。

C++ 代码

TVJ_Timer.h

详见我的 GitHub 仓库：

Main.cpp

/* * Project: Data Structure - Assignment 1 * File : Main.cpp * -------------------- * * @author: Teddy van Jerry * @licence: The MIT Licence * @compiler: at least C++/11 *  * @version 1.0 2021/03/01 * - initial version * */#include 
   
    #include 
    
     #include "TVJ_Timer.h" // an open source .h file written by Teddy van Jerryusing namespace std;/** * print out Pythagorean Number within a limit * return void */void findPythagoreanNumber(int limit){
   	ofstream out("Output.md", ios::app); // store data in a Markdown file	out << "## n = " << limit << endl;	for (size_t a = 1; a != limit; a++)	{
   		for (size_t b = a; b != limit; b++)		{
   			for (size_t c = b; c != limit; c++)			{
   				if (a * a + b * b == c * c)				{
   					out << "* (a, b, c) =" << '(' << setw(5) << a << ',' << setw(5) << b << ',' << setw(5) << c << ')' << endl;				}			}		}	}	out.close();}int main(int argc, char** argv){
   	// set the unit millisecond, precision is 9.	TVJ_Timer timer("m.9", true);	for (size_t i = 1; i <= 10; i++)	{
   		timer.restart();		findPythagoreanNumber(100 * i);		cout << "n = " << setw(4) << 100 * i << ", total time is " << timer << endl;	}	return 0;}
    
   

输出示例

• Console:
  
• Output.md: 4457 lines

算法分析

时间复杂度

根据数学公式，findPythagoreanNumber(n) 的循环次数为 $\frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$，而这是程序主要花费的时间（对于输出来说可能不太正确，但是总体的趋势仍然一样），在 $n$ 逐渐增大的过程中，我们可得时间复杂度 $O(n^3)$。根据程序得出的数据，时间总体上符合这总规律。

空间复杂度

在 $n$ 不同时，虽然循环的规模相差甚远，可是临时申请的内存都是一样多的，因而其空间复杂度为 $O(1)$。

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